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高三數(shù)學解析幾何的訓練試題答案篇一

一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)

1．已知圓x2＋y2＋dx＋ey＝0的圓心在直線x＋y＝1上，則d與e的關(guān)系是()

a．d＋e＝2b．d＋e＝1

c．d＋e＝－1d．d＋e＝－2[

解析d依題意得，圓心－d2，－e2在直線x＋y＝1上，因此有－d2－e2＝1，即d＋e＝－2.

2．以線段ab：x＋y－2＝0(0≤x≤2)為直徑的圓的方程為()

a．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2b．(x－1)2＋(y－1)2＝2

c．(x＋1)2＋(y＋1)2＝8d．(x－1)2＋(y－1)2＝8

解析b直徑的兩端點為(0,2)，(2,0)，∴圓心為(1,1)，半徑為2，圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2.

3．已知f1、f2是橢圓x24＋y2＝1的兩個焦點，p為橢圓上一動點，則使|pf1||pf2|取最大值的點p為()

a．(－2,0)b．(0,1)c．(2,0)d．(0,1)和(0，－1)

解析d由橢圓定義，|pf1|＋|pf2|＝2a＝4，∴|pf1||pf2|≤|pf1|＋|pf2|22＝4，

當且僅當|pf1|＝|pf2|，即p(0，－1)或(0,1)時，取“＝”．

4．已知橢圓x216＋y225＝1的焦點分別是f1、f2，p是橢圓上一點，若連接f1、f2、p三點恰好能構(gòu)成直角三角形，則點p到y(tǒng)軸的距離是()

a.165b．3c.163d.253

解析a橢圓x216＋y225＝1的焦點分別為f1(0，－3)、f2(0,3)，易得∠f1pf2<π2，∴∠pf1f2＝π2或∠pf2f1＝π2，點p到y(tǒng)軸的距離d＝|xp|，又|yp|＝3，x2p16＋y2p25＝1，解得|xp|＝165，故選a.

5．若曲線y＝x2的一條切線l與直線x＋4y－8＝0垂直，則l的方程為()

a．4x＋y＋4＝0b．x－4y－4＝0

c．4x－y－12＝0d．4x－y－4＝0

解析d設(shè)切點為(x0，y0)，則y′|x＝x0＝2x0，∴2x0＝4，即x0＝2，

∴切點為(2,4)，方程為y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.

6．“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦點在y軸上的橢圓”的()

a．充分不必要條件b．必要不充分條件

c．充要條件d．既不充分也不必要條件

解析c方程可化為x21m＋y21n＝1，若焦點在y軸上，則1n>1m>0，即m>n>0.

7．設(shè)雙曲線x2a2－y2b2＝1的一條漸近線與拋物線y＝x2＋1只有一個公共點，則雙曲線的離心率為()

a.54b．5c.52d.5

解析d雙曲線的漸近線為y＝±bax，由對稱性，只要與一條漸近線有一個公共點

即可由y＝x2＋1，y＝bax，得x2－bax＋1＝0.

∴δ＝b2a2－4＝0，即b2＝4a2，∴e＝5.

8．p為橢圓x24＋y23＝1上一點，f1、f2為該橢圓的兩個焦點，若∠f1pf2＝60°，則pf1→pf2→＝()

a．3b.3

c．23d．2

解析d∵s△pf1f2＝b2tan60°2＝3×tan30°＝3＝12|pf1→||pf2→|sin60°，∴|pf1→||pf2→|＝4，∴pf1→pf2→＝4×12＝2.

9．設(shè)橢圓x2m2＋y2n2＝1(m>0，n>0)的右焦點與拋物線y2＝8x的焦點相同，離心率為12，則此橢圓的方程為()

a.x212＋y216＝1b.x216＋y212＝1

c.x248＋y264＝1d.x264＋y248＝1

解析b拋物線的焦點為(2,0)，∴由題意得c＝2，cm＝12，

∴m＝4，n2＝12，∴方程為x216＋y212＝1.

10．設(shè)直線l過雙曲線c的一個焦點，且與c的一條對稱軸垂直，l與c交于a，b兩點，|ab|為c的實軸長的2倍，則c的離心率為()

a.2b.3

c．2d．3

解析b設(shè)雙曲線c的方程為x2a2－y2b2＝1，焦點f(－c，0)，將x＝－c代入x2a2－y2b2＝

1可得y2＝b4a2，∴|ab|＝2×b2a＝2×2a，∴b2＝2a2，c2＝a2＋b2＝3a2，∴e＝ca＝3.

11．已知拋物線y2＝4x的準線過雙曲線x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左頂點，且此雙曲線的一條漸近線方程為y＝2x，則雙曲線的焦距為()

a.5b．25

c.3d．23

解析b∵拋物線y2＝4x的準線x＝－1過雙曲線x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左頂點，∴a＝1，∴雙曲線的漸近線方程為y＝±bax＝±bx.∵雙曲線的一條漸近線方程為y＝2x，∴b＝2，∴c＝a2＋b2＝5，∴雙曲線的焦距為25.

12．已知拋物線y2＝2px(p>0)上一點m(1，m)(m>0)到其焦點的`距離為5，雙曲線x2a－y2＝1的左頂點為a，若雙曲線的一條漸近線與直線am平行，則實數(shù)a的值為()

a.19b.14

c.13d.12

解析a由于m(1，m)在拋物線上，∴m2＝2p，而m到拋物線的焦點的距離為5，根據(jù)拋物線的定義知點m到拋物線的準線x＝－p2的距離也為5，∴1＋p2＝5，∴p＝8，由此可以求得m＝4，雙曲線的左頂點為a(－a，0)，∴kam＝41＋a，而雙曲線的漸近線方程為y＝±xa，根據(jù)題意得，41＋a＝1a，∴a＝19.

二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)

13．已知直線l1：ax－y＋2a＋1＝0和l2：2x－(a－1)y＋2＝0(a∈r)，則l1⊥l2的充要條件是a＝________.

解析l1⊥l2a2a－1＝－1，解得a＝13.

【答案】13

14．直線l：y＝k(x＋3)與圓o：x2＋y2＝4交于a，b兩點，|ab|＝22，則實數(shù)k＝________.

解析∵|ab|＝22，圓o半徑為2，∴o到l的距離d＝22－2＝2.即|3k|k2＋1＝2，解得k＝±147.

【答案】±147

15．過原點o作圓x2＋y2－6x－8y＋20＝0的兩條切線，設(shè)切點分別為p、q，則線段pq的長為________．

解析如圖，圓的方程可化為

(x－3)2＋(y－4)2＝5，

∴|om|＝5，|oq|＝25－5＝25.

在△oqm中，

12|qa||om|＝12|oq||qm|，

∴|aq|＝25×55＝2，∴|pq|＝4.

【答案】4

16．在△abc中，|bc→|＝4，△abc的內(nèi)切圓切bc于d點，且|bd→|－|cd→|＝22，則頂點a的軌跡方程為________．

解析以bc的中點為原點，中垂線為y軸建立如圖所示的坐標系，e、f分別為兩個切點．

則|be|＝|bd|，|cd|＝|cf|，

|ae|＝|af|.∴|ab|－|ac|＝22，

∴點a的軌跡為以b，c為焦點的雙曲線的右支(y≠0)，且a＝2，c＝2，∴b＝2，∴方程為x22－y22＝1(x>2)．

【答案】x22－y22＝1(x>2)

三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17．(10分)在平面直角坐標系中，已知圓心在直線y＝x＋4上，半徑為22的圓c經(jīng)過原點o.

(1)求圓c的方程；

(2)求經(jīng)過點(0,2)且被圓c所截得弦長為4的直線方程．

解析(1)設(shè)圓心為(a，b)，

則b＝a＋4，a2＋b2＝22，解得a＝－2，b＝2，

故圓的方程為(x＋2)2＋(y－2)2＝8.

(2)當斜率不存在時，x＝0，與圓的兩個交點為(0,4)，(0,0)，則弦長為4，符合題意；

當斜率存在時，設(shè)直線為y－2＝kx，

則由題意得，8＝4＋－2k1＋k22，無解．

綜上，直線方程為x＝0.

18．(12分)(2011合肥一模)橢圓的兩個焦點坐標分別為f1(－3，0)和f2(3，0)，且橢圓過點1，－32.

(1)求橢圓方程；

(2)過點－65，0作不與y軸垂直的直線l交該橢圓于m，n兩點，a為橢圓的左頂點．試判斷∠man的大小是否為定值，并說明理由．

解析(1)設(shè)橢圓方程為x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，

由c＝3，橢圓過點1，－32可得a2－b2＝3，1a2＋34b2＝1，

解得a2＝4，b2＝1，所以可得橢圓方程為x24＋y2＝1.

(2)由題意可設(shè)直線mn的方程為：x＝ky－65，

聯(lián)立直線mn和橢圓的方程：x＝ky－65，x24＋y2＝1，化簡得(k2＋4)y2－125ky－6425＝0.

設(shè)m(x1，y1)，n(x2，y2)，

則y1y2＝－6425k2＋4，y1＋y2＝12k5k2＋4，

又a(－2,0)，則am→an→＝(x1＋2，y1)(x2＋2，y2)＝(k2＋1)y1y2＋45k(y1＋y2)＋1625＝0，所以∠man＝π2.

19．(12分)已知橢圓c的中心為直角坐標系xoy的原點，焦點在x軸上，它的一個頂點到兩個焦點的距離分別為7和1.

(1)求橢圓c的方程；

(2)若p為橢圓c上的動點，m為過p且垂直于x軸的直線上的點，|op||om|＝e(e為橢圓離心率)，求點m的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．

解析(1)設(shè)橢圓長半軸長及半焦距分別為a，c，

由已知，得a－c＝1，a＋c＝7，解得a＝4，c＝3.

∴橢圓方程為x216＋y27＝1.

(2)設(shè)m(x，y)，p(x，y1)，其中x∈[－4,4]，

由已知得x2＋y21x2＋y2＝e2，而e＝34，

故16(x2＋y21)＝9(x2＋y2)，①

由點p在橢圓c上，得y21＝112－7x216，

代入①式并化簡，得9y2＝112.

∴點m的軌跡方程為y＝±473(－4≤x≤4)，

∴軌跡是兩條平行于x軸的線段．

20．(12分)給定拋物線y2＝2x，設(shè)a(a,0)，a>0，p是拋物線上的一點，且|pa|＝d，試求d的最小值．

解析設(shè)p(x0，y0)(x0≥0)，則y20＝2x0，

∴d＝|pa|＝x0－a2＋y20＝x0－a2＋2x0＝[x0＋1－a]2＋2a－1.

∵a>0，x0≥0，

∴(1)當0<a<1時，1－a>0，

此時有x0＝0時，dmin＝1－a2＋2a－1＝a；

(2)當a≥1時，1－a≤0，

此時有x0＝a－1時，dmin＝2a－1.

21．(12分)已知雙曲線的中心在原點，焦點f1，f2在坐標軸上，離心率為2，且過點(4，－10)，點m(3，m)在雙曲線上．

(1)求雙曲線方程；

(2)求證：點m在以f1f2為直徑的圓上；

(3)求△f1mf2的面積．

解析(1)∵雙曲線離心率e＝2，

∴設(shè)所求雙曲線方程為x2－y2＝λ(λ≠0)，

則由點(4，－10)在雙曲線上，

知λ＝42－(－10)2＝6，

∴雙曲線方程為x2－y2＝6.

(2)若點m(3，m)在雙曲線上，則32－m2＝6，∴m2＝3，由雙曲線x2－y2＝6知f1(23，0)，f2(－23，0)，

∴mf1→mf2→＝(23－3，－m)(－23－3，－m)＝m2－3＝0，

∴mf1→⊥mf2→，故點m在以f1f2為直徑的圓上．

(3)s△f1mf2＝12|f1f2||m|＝23×3＝6.

22．(12分)已知實數(shù)m>1，定點a(－m,0)，b(m,0)，s為一動點，點s與a，b兩點連線斜率之積為－1m2.

(1)求動點s的軌跡c的方程，并指出它是哪一種曲線；

(2)當m＝2時，問t取何值時，直線l：2x－y＋t＝0(t>0)與曲線c有且只有一個交點？

(3)在(2)的條件下，證明：直線l上橫坐標小于2的點p到點(1,0)的距離與到直線x＝2的距離之比的最小值等于曲線c的離心率．

解析(1)設(shè)s(x，y)，則ksa＝y(tǒng)－0x＋m，ksb＝y(tǒng)－0x－m.

由題意，得y2x2－m2＝－1m2，即x2m2＋y2＝1(x≠±m(xù))．

∵m>1，

∴軌跡c是中心在坐標原點，焦點在x軸上的橢圓(除去x軸上的兩頂點)，其中長軸長為2m，短軸長為2.

(2)當m＝2時，曲線c的方程為x22＋y2＝1(x≠±2)．

由2x－y＋t＝0，x22＋y2＝1，消去y，得9x2＋8tx＋2t2－2＝0.

令δ＝64t2－36×2(t2－1)＝0，得t＝±3.

∵t>0，∴t＝3.

此時直線l與曲線c有且只有一個公共點．

(3)由(2)知直線l的方程為2x－y＋3＝0，

設(shè)點p(a,2a＋3)(a<2)，d1表示p到點(1,0)的距離，d2表示p到直線x＝2的距離，則

d1＝a－12＋2a＋32＝5a2＋10a＋10，

d2＝2－a，

∴d1d2＝5a2＋10a＋102－a＝5×a2＋2a＋2a－22.

令f(a)＝a2＋2a＋2a－22，

則f′(a)＝2a＋2a－22－2a2＋2a＋2a－2a－24

＝－6a＋8a－23.

令f′(a)＝0，得a＝－43.

∵當a<－43時，f′(a)<0；

當－43<a<2時，f′(a)>0.

∴f(a)在a＝－43時取得最小值，即d1d2取得最小值，

∴d1d2min＝5f－43＝22，

又橢圓的離心率為22，

∴d1d2的最小值等于橢圓的離心率．

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